Méton descobriu o ciclo que tem o seu nome?

Antes de nos perguntarmos se Méton descobriu realmente o «ciclo de Méton», vamos tentar perceber quem foi, de facto, Méton e o que descobriu exatamente.

Quem foi Méton?

Não sabemos praticamente nada sobre Méton, exceto que era natural de Leuconoe, um demo da Ática, perto de Atenas. Eliano, autor da primeira metade do século III d. C., escreve nas suas Histórias várias: "Méton de Leuconoe, outro astrónomo, mandou erguer colunas nas quais assinalou as revoluções do Sol e vangloriou-se de ter encontrado o grande ano, que dizia ser de dezanove anos."

O autor cómico Frínico, contemporâneo de Aristófanes, também situa o nascimento de Méton em Leuconoe, na sua obra Monotropos.

Também sabemos que viveu na segunda metade do século V a. C.

Eliano, no século III, apresenta-o como astrónomo. E hoje em dia é considerado como tal.

No entanto, parece claro que essa reputação de astrónomo foi póstuma e que, em vida, foi mais conhecido como geómetra.

Já que mencionámos Aristófanes, leiamos uma passagem da sua obra As Aves, representada em 414 a. C. Aristófanes introduz o próprio Méton como personagem.

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METÓN: Venho ver-vos.

PISTETERO: Mais importunos! Que vens aqui fazer? Qual é o teu propósito? Que ideia te traz? A que se deve esse passo de portador de coturno?

METÓN: Quero medir o ar e reparti-lo em ruas.

PISTETERO: Em nome dos deuses, quem és tu?

METÓN: Quem sou? Méton, o que conhecia a Hélade e Colono.

PISTETERO: Diz-me, o que trazes contigo?

METÓN: Instrumentos de medição do ar. Deves saber, antes de mais, que o ar no seu conjunto parece-se exatamente com um forno. Com esta régua curva, descendo de cima, e ajustando o compasso... Entendes?

PISTETERO: Não entendo nada.

METÓN: Aplico uma régua reta, de modo a obteres um círculo quadrado; no centro está a ágora, e as ruas que lá conduzem são retas e convergem para o centro, tal como de um astro, redondo por natureza, partem raios retos que brilham em todos os sentidos.[....]

PISTETERO: Não o dizia eu há muito? Vai tirar as tuas medidas para outro lado.

Nesta passagem, Méton aparece como geómetra e não como astrónomo. Um geómetra que pretenderia resolver o problema da quadratura do círculo.

E porque conhecia especialmente Colono (Colone, não longe de Atenas)? Uns defenderam que porque aí nasceu; outros, porque aí construiu uma fonte ou um aqueduto. No Monotropos de que já falámos, Frínico escreve: «Méton de Leuconoe, o que traz as fontes».

No entanto, Filócoro, autor do século III a. C., precisa que Méton não construiu nada em Colono, mas que ergueu em 432 um heliotrópio (gnómon com marcas dos solstícios) «no lugar onde agora se reúne a assembleia, junto ao muro do Pnyx».

O Pnyx, instalado numa colina frente à Acrópole, era o lugar onde os atenienses se reuniam em assembleia. Aí teria erguido Méton o seu heliotrópio... ou talvez outra coisa... ou nada.

Uma última anedota sobre Méton nos é também transmitida por Eliano nas suas Histórias várias, LIVRO XIII.

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12. Do astrónomo Méton.

QUANDO a frota de Atenas estava pronta para partir para a Sicília*, o astrónomo Méton, incluído entre os que deviam embarcar, prevendo o que ia acontecer e temendo os perigos da navegação, tentou escapar à viagem. Como não conseguiu, optou por fingir-se louco: entre diversas extravagâncias com as quais julgou confirmar que estava realmente louco, ateou fogo à sua casa, que ficava perto do Pécilo; em consequência disso, os arcontes dispensaram-no. Na minha opinião, Méton fingiu-se melhor de louco do que Ulisses, rei de Ítaca. Palamedes descobriu o estratagema de Ulisses, e nenhum ateniense se apercebeu da de Méton. Justino, IV, 4.

* Os atenienses levavam a guerra contra Siracusa: essa expedição arruinou as forças de Atenas e foi seguida pela tomada da cidade pelos lacedemónios.

Convém não tirar daí uma conclusão precipitada. Porque outros textos sustentam que Méton agiu assim para salvar o filho. A menos que tenha sido por convicção política.

Este ponto não ficaria completo se não falássemos também de Euctemón, «colega» de Méton e seguramente coautor do ciclo que nos interessa. Dito rapidamente, porque nada sabemos dele, exceto que ele era, de facto, astrónomo.

Qual foi o papel de um e de outro na invenção do «ciclo de Méton» ou «grande ano»? Com os conhecimentos atuais, não o sabemos.

Sem dúvida muito próximos na vida, Méton e Euctemón também o estão na Lua, onde duas crateras próximas levam os seus nomes.

Casualidade ou vontade, a cratera Méton permanece na escuridão até ao décimo nono dia a partir da lua nova. Nesse momento torna-se visível.

O que descobriu exatamente?

Chame-se-lhe ciclo de 19 anos, ciclo metónico, ano de Méton, grande ano ou enneadecateride, tanto faz: Méton e Euctemón idealizaram um ciclo segundo o qual

19 anos solares = 235 lunações

Assim formulada, esta igualdade significa muito pouco se não conhecermos a duração de um ano solar ou de uma lunação.

Quais eram esses valores no tempo de Méton? Sabemos muito pouco. Mas, felizmente, sabemos que a duração do ciclo era de 6940 dias.

Se o ciclo fosse exato, dar-nos-ia um ano solar de 365,26316 dias e uma lunação de 29,5319 dias.

Sabemos que não é assim, já que o ano trópico dura 365,242219 dias e a lunação cerca de 29,53059 dias. Ambas as durações eram demasiado longas e deram origem a ciclos mais longos e mais exatos. Mas essa é outra história; veja-se a página dedicada às eras e ciclos.

Dito isto, nada permite afirmar que esses fossem os valores usados ou descobertos por Méton e Euctemón. Cabe supor que qualquer ciclo cuja duração total se aproxime de 6940 dias pode ser considerado válido.

Segundo Bigourdan (1851-1932), astrónomo de profissão, para Méton «o ano vale 365 dias 5/19 e a lunação 29 dias 25/47». Porque não? Isso dá-nos um ciclo de 6939,999 dias. No fundo, isso importa bastante pouco.

O que significa este ciclo e como se usa?

Do ponto de vista estritamente astronómico, significa que, a cada 19 anos, a Lua regressa exatamente, esqueçamos que não é exato, ao mesmo lugar do céu. Verificamos?

Hoje é fácil fazer essa verificação com os nossos programas modernos de astronomia. Para as imagens que seguem, utilizei Alphacentaure. Mas poderia ter usado igualmente Cartes du ciel. São dois programas livres de qualidade excecional. Feito este merecido reconhecimento, voltemos ao nosso tema... Méton e Euctemón.

Tomemos um local de observação qualquer, Atenas, por exemplo. Tomemos também uma data qualquer: 28 de junho de 433 a. C., no calendário juliano. Por exemplo, às 23:00.

Onde está a Lua no céu para esse local e nessa data?

Onde está a Lua para o mesmo local 6940 dias mais tarde, ou seja, um ciclo de Méton depois?

Está praticamente no mesmo sítio. Para dizer exatamente, teria sido preciso que se situasse no centro da cruz vermelha que se distingue um pouco acima da sua posição real. Essa diferença de posição materializa o erro do ciclo.

Não sei o que teriam feito vocês, a olho nu e praticamente sem qualquer meio moderno de observação, mas eu, pela minha parte, acho que não está nada mal.

Este ciclo pode usar-se para dois fins:

1. Para conhecer antecipadamente as fases da Lua. Basta anotá-las durante 19 anos. Depois voltam a cair no mesmo dia nos ciclos seguintes. Foi exatamente isso que fez Dionísio, o Exíguo (por volta de 532), que elaborou a tabela das luas «fictícias» (ou eclesiásticas ou calendáricas) no calendário juliano. O ciclo de Méton foi fundamental no calendário eclesiástico durante séculos. Para saber mais, veja-se a página sobre o calendário eclesiástico.
2. Nos calendários lunissolares, para saber que anos devem ser embolísmicos, com um décimo terceiro mês, de modo a que o ano lunar se mantenha em compasso com o ano solar.

Méton e Euctemón elaboraram uma tabela semelhante para situar os anos embolísmicos? É muito provável, porque o objetivo do ciclo era precisamente acabar com a deriva do calendário grego.

Méton e Euctemón fixaram as intercalações nos anos 3, 5, 8, 11, 13, 16 e 19, bem como o número de dias de cada mês do ano, ponto ao qual não voltaremos aqui, já que todos os detalhes estão aqui? Ninguém o sabe, mas pouco importa: o essencial é o princípio de intercalar 7 meses complementares num ciclo de 19 anos para que o total de dias desse ciclo seja efetivamente 6940.

Quando foi inventado o ciclo e qual era a sua data de início?

Segundo Diodoro, Méton teria feito começar o seu ciclo no dia 13 do mês de Scirophorion, no quarto ano da 86.ª Olimpíada. Isso corresponderia a 28 de junho de 433 a. C. (juliano).

Por seu lado, Jean-Étienne Montucla (1725-1799), na sua história das matemáticas (1799), avança outra data: "...Este ciclo foi estabelecido no ano 433 juliano antes de J. C., a 16 de julho, décimo nono dia depois do solstício de verão; e a Lua nova que ocorreu nesse dia, às sete e quarenta e três da tarde, foi o seu começo, contando-se o primeiro dia do período a partir do pôr do Sol da véspera. Méton escolheu deliberadamente essa Lua nova, embora mais afastada do solstício do que a anterior, para não ser obrigado a intercalar já no primeiro ano. Pois o ano grego era tal que a Lua cheia do seu primeiro mês devia ser posterior ao solstício, por causa dos jogos olímpicos, cuja celebração estava fixada a meio desse primeiro mês após o solstício de verão..."

Então, Diodoro ou Montucla?

Entremos na lenda da história do ciclo de Méton. E Montucla vai ajudar-nos a entrar de cheio na questão. Escreve que "...Méton expôs em Atenas, e provavelmente diante da Grécia reunida nesses célebres jogos, uma tabela em que se explicava a ordem do seu período, e o aplauso com que foi recebida pela maioria das nações gregas fez com que lhe fosse dado o nome de ciclo ou número de ouro..."

Porque número de ouro? Porque, ao que parece, essa tabela teria sido inscrita em letras de ouro em tabuletas fixadas nos monumentos públicos (Hoeffer, 1873). A menos que tenha sido diretamente sobre o muro do Pnyx ou no templo de Minerva, que não sei muito bem onde ficaria.

Em resumo, lê-se de tudo sobre este assunto. E a realidade é muito mais triste, sobretudo para Méton...

A sua descoberta passou praticamente despercebida. Gémino, na sua Introdução aos fenómenos, nem sequer cita Méton e atribui a paternidade do ciclo a Calipo.

O ciclo não foi aplicado na Grécia antes de 342 ou 330 a. C.

De modo que, em 423 a. C., Aristófanes, em A Paz, continua a queixar-se da desordem do calendário:

"Ao virmos para aqui, encontrámos Diana (a Lua), [...] que nos disse estar muito irritada com as injúrias que recebe todos os dias. [...] Queixava-se de que não observais de modo nenhum os seus dias de festa e de que os deixais passar confusamente. [...] E enquanto nós, deuses, celebramos jejuns, é precisamente nesses dias que vós fazeis as vossas libações e banquetes".

Como poderia Aristófanes, que, como vimos, conhecia Méton, esquecer uma celebridade coroada nos jogos olímpicos e continuar ainda a queixar-se do calendário?

Quanto ao famoso número áureo gravado um pouco por toda a parte, parece datar de 1170, ano em que Alexandre de Villedieu escreve o seu Massa compoti. E só no século XIII se pode ler, pela pena de um «sábio» que "este número ultrapassa todos os outros cálculos lunares como o ouro ultrapassa os outros metais".

De resto, Dionísio, o Exíguo, que utiliza o número áureo nas suas tabelas, não fala de número de ouro, mas de cyclus decemnovennalis.

Descobriu «o seu» ciclo?

Vamos deixar de lado a astronomia chinesa que, segundo as fontes, teria conhecido o ciclo de 19 anos em datas muito diversas. E isto sem que as fontes dessa informação sejam realmente claras. Assim, pode ler-se que o ciclo de 19 anos já seria conhecido no século XXVII a. C., na sequência de observações feitas no observatório construído por Hoang-Ti. Outros referem a dinastia Shang (1554-1145 a. C.).

Fiquemo-nos simplesmente com o que escreve Helmer Aslaksen, cuja autoridade em matéria de calendário chinês está fora de dúvida. Segundo ele, o ciclo de Méton é conhecido na China pelo nome de ciclo zhang desde cerca de 600 a. C. Os primeiros calendários que utilizaram esse ciclo seriam anteriores a 104 a. C.

Em contrapartida, vamos examinar o ciclo de 19 anos entre os babilónios.

Agradecimentos

Antes de começar, gostaria de agradecer a três pessoas:

Emmanuel Bertin, pelo enorme trabalho de «localização» dos meses complementares nos textos babilónios.

G.R.F. Assar, pelos seus conselhos esclarecedores, pela sua paciência e disponibilidade. Graças a ele, Emmanuel e eu pudemos corrigir alguns erros de datação. As conclusões que se seguem coincidem com as suas, expostas em «Parthian Calendars at Babylon and Seleucia on the Tigris», IRAN 41 (2003), 171-185.

E não quero deixar de agradecer também a Francis Joannès. Em primeiro lugar, pelo site http://www.achemenet.com, que é uma verdadeira mina para quem estuda os textos babilónios. E também pelas suas precisões valiosas sobre a forma de «decifrar» as datas babilónias e orientar-se na cronologia.

O ciclo de 19 anos e os babilónios

Porque este estudo minucioso dos textos datados? Muito simples: porque a leitura de alguns livros deixa uma sensação de indefinição e abre espaço à dúvida quanto à datação da aplicação do ciclo de 19 anos pelos babilónios.

No seu livro La Mésopotamie (1985), Georges Roux escreve que "Os astrónomos, ao verificarem que 235 meses lunares equivaliam exatamente a 19 anos solares, em 747 o rei Nabû-nasir, em Babilónia, decidiu introduzir sete meses suplementares distribuídos ao longo de um período de 19 anos; no entanto, este 'calendário de Nabonasar' só foi normalizado entre 388 e 367". Quanto às datas, o texto remete para Babylonian Chronology 626 BC - AD 75 (1956), de Parker, Richard A. e Waldo H. Dubberstein.

Parker e Dubberstein escrevem nesse livro: "In the fourth century - in 367 B.C according to our scheme - the intercalations became standardized, and the nineteen-year cycle came into being".

O. Neugebauer, por seu lado, em The Exact Sciences in Antiquity, assinala que, segundo A. Sachs, as regras de intercalação ficaram fixadas antes de 380 a. C.

Antes, sim, mas quantos anos antes? Antes de 433 ou depois? Que se entende por «normalização»? Como era o calendário antes dessa normalização? Foi isso que tentámos perceber.

Lembretes sobre o calendário babilónio

Na época que nos interessa, desde Nabonasar até Alexandre Magno, isto é, de 747 a. C. a 330 a. C., o calendário é lunissolar.

Os meses chamam-se Nisanu, Ayaru, Simanu, Duzu, Abu, Ululu, Tashritu, Arahsamnu, Kislimu, Tebetu, Shabatu e Addaru.

Os meses intercalares, quando os há, situam-se depois de Ululu ou de Addaru e chamam-se simplesmente segundo Ululu ou segundo Addaru. O ciclo de 19 anos, quando ficou fixado, teria intercalado nos anos 1, 3, 6, 9, 11, 14 e 17. No ano 1 do ciclo ter-se-ia intercalado um segundo Ululu, e em todos os restantes um segundo Addaru.

Até à era selêucida, os anos contavam-se a partir da subida ao trono de um novo rei. Quando, dentro do mesmo ano, um rei falecido era substituído por outro, decidiu-se por convenção contar o último ano de reinado do rei defunto como um ano completo e chamar «ano inaugural» (o «ano 0») ao período de poucos meses que servia para completar o último ano oficial desse rei. Na era selêucida a contagem tornou-se contínua, e o ano 1 da era selêucida corresponde a 312/311 a. C.

Resultado da compilação dos textos datados

Para não ter de estudar uma tabela demasiado longa, vamos encurtá-la e ficar apenas com a parte verdadeiramente interessante e significativa.

Assinalaremos A para o ano que contém um segundo Addaru e U para o ano que contém um segundo Ululu.

Da análise distinguem-se quatro períodos diferentes:

• Antes de 527/526 a. C., o calendário é claramente lunissolar, mas os meses intercalares parecem ser inseridos ao acaso. Custa acreditar que o ciclo de 19 anos já fosse conhecido desde Nabonasar.
• De 527/526 a 503/502 a. C. aplicam-se vários ciclos de 8 anos com 4 intercalações por ciclo, nos anos 1, 3 e 6. É a octaetéride, que entre os gregos será descoberta em 500 a. C. por Cleóstrato de Ténedos, que colocará os anos embolísmicos na 2.ª, 5.ª e 8.ª posição do ciclo. Também se observa que o início do ciclo é sempre caracterizado por um ano embolísmico cujo mês duplicado é Ululu, enquanto o mês duplicado dos restantes anos embolísmicos é Addaru.
• De 503/502 a 370/369 a. C. aplica-se o ciclo de 19 anos com algumas irregularidades na posição e no nome do mês duplicado, mas sem se afastar do princípio de 7 intercalações em 19 anos. O único mês duplicado em falta é o de 457/456. Mas devemos concluir daí que nesse ano não houve mês complementar só porque não foi encontrado nenhum texto?
• A partir de 359/358 a. C., o ciclo fica estabilizado. Ao contrário do que por vezes se lê, parece claro que o ciclo começa com um ano embolísmico com dois meses Ululu, em continuidade com o que já tinha sido feito nos ciclos de 8 anos.